Nieliniowość geometryczna w Femap
Często spotykamy się z określeniem nieliniowości geometrycznej, warto więc poświęcić temu zagadnieniu nieco uwagi: co to jest, kiedy występuje i jak to uwzględnić w obliczeniach. Jako przykład będzie nam służyć nieliniowość geometryczna w Femap.
Nieliniowość geometryczna
Nieliniowość geometryczna występuje wówczas, gdy w procesie konstrukcji właściwości sztywności lub obciążenia zmieniają się w znaczny sposób w wyniku deformacji. Analizy liniowe badają ustalony stan, natomiast jeżeli w naszej konstrukcji dochodzi do zginania, zachodzą wówczas naprężenia zginające. Jednakże nasza konstrukcja może być tak zaprojektowana, że przy pewnym odkształcaniu zaczyna dochodzić, oprócz zginania, dodatkowo rozciąganie. To jest właśnie nieliniowość geometryczna.
Rys. 1 Koło rowerowe nieliniowość geometryczna
W niniejszym artykule przedstawiamy sposób, w jaki możemy zasymulować model z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej na przykładnie tylnego koła rowerowego, ponieważ w tylnym kole zaplot jest niesymetryczny. Oznacza to, że w płaszczyźnie osi koła z prawej strony lub inaczej od strony napędu, mamy mniejszą odległość od płaszczyzny kołnierza do płaszczyzny symetrii obręczy z oponą niż z lewej strony. Wynika to z konieczności umieszczenia kasety z zębatkami itd. W związku z tym z prawej strony są krótsze szprychy niż z lewej. Ze względu na niesymetryczności kołnierzy piasty względem obręczy z oponą szprychy muszą mieć różną siłę naciągu, tak aby utrzymać obręcz z oponą w symetrii z osią piasty, czy inaczej mówiąc z symetrią tylnego widelca. Jeżeli tego nie zrobimy, to naciągniemy obręcz szprychami o tej samej długości i z tym samym naciągiem, uzyskamy symetrię obręczy równo z symetrią samych kołnierzy piasty, a to spowoduje ocieranie koła o tylny widelec.
Oczywiście zagadnień dotyczących naciągu, sztywności koła jest dużo więcej. Niekiedy stosuje się różny zaplot po jednej i drugiej stronie, stosuje się różną liczbą szprych. Natomiast, aby pokazać szybko różnice, w modelu jest ten sam zaplot na 3 krzyże z jednej i drugiej strony.
Gdzie tu jednak nieliniowość geometryczna? Naprężając stopniowo szprychy, są one rozciągane, ale od pewnego momentu oprócz naprężeń rozciągających lub osiowych pojawiają się siły, które chcą przesunąć obręcz względem piasty i wtedy w szprychach pojawia się zginanie. To jest właśnie efekt nieliniowości geometrycznej. Jak to wygląda w praktyce pokażemy na przykładzie.
Przykład nieliniowości geometrycznej
Rys.2 Model koła tylnego o jednakowym zaplocie.
Rys.3 Widok koła rowerowego w płaszczyźnie osi bez opony
Przygotowanie modelu obliczeniowego wygląda identycznie, jak w przypadku analiz liniowych. Musimy więc dyskretyzować model. Dla zobrazowania omawianego zagadnienia komponenty takie jak opona czy kaseta zostaną pominięte.
Rys.4 Siatka bryłowa obręczy oraz piasty
Szprychy zostaną zamodelowane jako elementy belkowe, łączą one obręcz koła z piastą. Łączenie elementów liniowych zostało zamodelowane za pomocą elementów sztywnych.
Rys.5 Szprychy łączące obręcz z piastą
Rys.6 Połączenie szprych za pomocą elementów sztywnych z piastą i obręczą
W tak zbudowanym modelu dyskretnym zadamy warunki brzegowe, które zostaną uwzględnione w analizie. W szprychach po stronie napędu, czyli z prawej strony, gdzie są krótsze szprychy nadam obciążenie wstępne 1100N jako obciążenie typu pre-bolt.
Rys.7 Naprężenie szprych od strony napędu
Szprychy z lewej strony zostaną również poddane naprężeniem wstępnym siłą 650N.
Rys 8. Naprężenie szprych z lewej strony
Stworzymy teraz analizę nieliniową, wybieram typ analizy Multi-Step Nonlinear Kinematic.
Rys. 9 Typ analizy
Nasz model obliczeniowy będzie uwzględniał naprężenie szprych, dlatego ustawiam Case jako typ analizy Bolt Preload. W dalszych krokach można ustawić parametry solwera, opcje zbieżności, liczbą kroków czasowych oraz warunki brzegowe.
Rys. 10 Ustawienia analizy
Rys. 11 Ustawienia warunków brzegowych do analizy
Po wykonaniu obliczeń możemy przejść do przeglądania wyników.
Wyświetlając deformacje widzimy, że mocniejszy naciąg z prawej strony spowodował przesunięcie się całej obręczy w prawo, wartość przesunięcia wynosi ~3mm. Nasza analiza nieliniowa pozwoliła w wielu krokach przeprowadzić kalkulacje modelu, jeżeli po odpowiednim naciągu, a więc rozciąganiu, nagle dochodzi do przesunięcia obręczy względem piasty, szprychy są dodatkowo gięte, analiza nieliniowa geometrycznie uwzględni to w naszych obliczeniach.
Rys. 12 Deformacja w analizie nieliniowej przy naciągu szprych z lewej strony 650N
Co by było, gdybyśmy nie skorzystali z możliwości Femap z analizami nieliniowymi? Zobaczmy.
Analiza statyczna, przy tych samych warunkach brzegowych pokazuje deformację na poziomie ~85mm. Więc tak duża deformacja jest wręcz nierealna i niewyobrażalna. Nie możemy bazować na takich wynikach.
Rys. 13 Deformacja przy analizie statycznej
W naszym modelu wykonaliśmy jeszcze analizę z większym naciągiem po lewej stronie, czyli naciąg z prawej strony 1100N a z lewej 850N.
Rys. 14 Deformacja w analizie nieliniowej przy naciągu szprych z lewej strony 800N
Wynik nie jest satysfakcjonujący, bo doszło do dużej deformacji ~1mm. Natomiast przy tym samym przypadku obliczeniowym analiza statyczna wykazuje przemieszczenie obręczy względem piasty rzędu 27 mm.
Rys. 15 Deformacja przy analizie statycznej 2
Po kolejnej zmianie, czyli obciążenie wstępne szprych odpowiednio 1100 N i 800 N deformacje wynoszą w analizie geometrycznie nieliniowej ~ 0,01 mm. W analizie statycznej 0,4mm to dalej procentowo jest bardzo duża różnica.
Rys. 16 Deformacja w analizie nieliniowej przy naciągu szprych z lewej strony 850N
Rys. 17 Deformacja przy analizie statycznej 3
Obliczenia nieliniowe geometrycznie są bardzo ważne i należy o tym pamiętać. Nie oznacza to, że każda analiza musi uwzględniać nieliniowość geometryczną. Użytkownik jest odpowiedzialny za prawidłowe obliczenia, a program jest tylko narzędziem, które nam to ułatwia i umożliwia. Jeśli natomiast występuje zmiana rodzaju naprężeń wraz z deformacją podczas zwiększania obciążenia, mamy do czynienia z nieliniowością geometryczną.
Nieliniowość geometryczną możemy spotkać w zbiornikach, silosach, urządzeniach dźwigowych oraz transportowych, czy nawet w poszczególnych częściach maszyn. Powyższy przykład koła pokazuje, jak łatwo zagadnienie nieliniowe można znaleźć w produktach z którymi mamy styczność od lat – niekiedy sobie nie zdając z tego sprawy.
Opracował: Michał Sroka